Dönüşüm Kuralları: Türev ve Öteleme
Diferansiyel Denklemler
Türevi Dönüştürmek
\[ \mathcal{L}\{f'\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt \]
Kısmi integrasyon: \(u=e^{-st}\), \(dv=f'\,dt\)
<— Buradaki işlemler slayt kısmında açıkça yapılmalı.—> Temel dönüşümler elimizde, ama diferansiyel denklem çözmek için asıl gereken kural henüz yok: türevin dönüşümü. Aranan şey \(\mathcal{L}\{f'\}\) ifadesini \(\mathcal{L}\{f\}\) cinsinden yazmaktır.
Kısmi integrasyon doğal araçtır, çünkü integrandda bir türev bulunuyor ve kısmi integrasyon türevi diğer çarpana aktarır. \(u=e^{-st}\) ve \(dv=f'(t)dt\) seçelim; buradan \(du=-se^{-st}dt\) ve \(v=f(t)\) olur.
Seçimin bu yönde yapılmasının nedeni açık: türevi \(f\)’nin üzerinden alıp \(e^{-st}\)’ye geçirmek istiyoruz. Ters seçim işi zorlaştırır, çünkü \(f''\) ortaya çıkar.
Birinci Türev Kuralı
\[ \left[e^{-st}f(t)\right]_0^{\infty} +s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt \]
\[ \boxed{\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)} \]
<— Buradaki işlemler slayt kısmında açıkça yapılmalı.—> Kısmi integrasyon \(\left[e^{-st}f(t)\right]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\) verir. İkinci terim tanım gereği \(sF(s)\)’tir.
Sınır terimini inceleyelim. Üst uçta \(f\) üstel mertebedense ve \(s\) yeterince büyükse \(e^{-st}f(t)\to0\) olur. Alt uçta \(t=0\) için \(e^0f(0)=f(0)\) çıkar ve köşeli parantez \(0-f(0)=-f(0)\) değerini alır.
Sonuç \(\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)\)’dır. Bu tek satır Laplace yönteminin bütün gücünü taşıyor: türev alma işlemi, dönüşüm tarafında \(s\) ile çarpmaya dönüştü. Fazladan gelen \(-f(0)\) terimi ise başlangıç koşulunun ta kendisidir.
Başlangıç koşullarının hesaba nereden girdiği sorusunun cevabı burada. Klasik yöntemlerde koşullar genel çözüm kurulduktan sonra uygulanıyordu; burada dönüşüm formülünün içinde, daha ilk adımda devreye giriyor.
İkinci Türev
\[ \mathcal{L}\{f''\}=s\mathcal{L}\{f'\}-f'(0) \]
\[ \boxed{\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)} \]
<— Buradaki işlemler slayt kısmında açıkça yapılmalı.—> İkinci türev kuralı, birinci türev kuralını \(f'\) fonksiyonuna uygulayarak çıkar. \(f'\) yerine yeni bir fonksiyon gibi bakalım: \(\mathcal{L}\{(f')'\}=s\mathcal{L}\{f'\}-f'(0)\).
\(\mathcal{L}\{f'\}\) yerine \(sF(s)-f(0)\) yazalım: \(s\bigl(sF(s)-f(0)\bigr)-f'(0)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\).
Yapı tanıdık: türev mertebesi \(s\)’nin kuvvetine, başlangıç koşulları da azalan \(s\) kuvvetleriyle çarpılmış terimlere gidiyor. İkinci mertebe bir başlangıç değer probleminde \(y(0)\) ve \(y'(0)\) değerlerinin ikisi de bu formülde görünür — tam olarak ihtiyaç duyulan iki koşul.
Genel formül aynı örüntüyü sürdürür: \(\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\). Her mertebe için gereken koşul sayısı da formülün içinden okunur.
Denklem Cebirsel Oluyor
\[ y''+3y'+2y=0, \quad y(0)=1,\; y'(0)=0 \]
\[ (s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=0 \]
\[ Y(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2} \]
<— Dönüşümler slayt kısmında açıkça yazmalı—> Kuralı bir denkleme uygulayalım. Denklemin her terimini dönüştürelim: \(\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)=s^2Y-s\), \(\mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)=sY-1\) ve \(\mathcal{L}\{y\}=Y\).
Denklem \((s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=0\) olur. Burada türev kalmadı; \(Y\) bilinmeyeninde cebirsel bir denklem var.
\(Y\)’yi yalnız bırakalım: \(Y(s^2+3s+2)=s+3\) ve \(Y(s)=\dfrac{s+3}{s^2+3s+2}\).
Paydadaki \(s^2+3s+2\) ifadesine bakın — denklemin karakteristik polinomunun aynısı. Bu rastlantı değildir: türev kuralı \(y^{(k)}\) terimini \(s^k\) ile çarpıma çevirdiği için, \(Y\)’nin katsayısı karakteristik polinomun kendisi olur. Payda kökleri yine çözümün üstel bileşenlerini belirleyecek.
Geriye tek iş kaldı: \(Y(s)\)’ten \(y(t)\)’ye dönmek. O adım ters dönüşümün konusu.
Öteleme: \(s\) Ekseninde Kaydırma
\[ \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt \]
\[ \boxed{\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)} \]
Bir fonksiyon \(e^{at}\) ile çarpılırsa dönüşümü ne olur? İntegrale bakalım: \(\int_0^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt\).
Sağdaki ifade, \(F(s)\) tanımındaki \(s\) yerine \(s-a\) yazılmış hâlidir. Yani \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\) olur.
Kural şunu söylüyor: özgün tarafta üstelle çarpmak, dönüşüm tarafında \(s\) eksenini \(a\) kadar kaydırmak demektir. Buna birinci öteleme kuralı denir.
Geçerlilik aralığı da kayar. \(F(s)\) dönüşümü \(s>\alpha\) için tanımlıysa, \(F(s-a)\) dönüşümü \(s>\alpha+a\) için tanımlıdır.
Kuralın pratik değeri büyük. Tablo yalnız beş satır, ama bu kuralla her satırın üstelle çarpılmış hâli elde edilir; tablonun kapsamı bir anda katlanır.
Ötelemeyi Uygulamak
\[ \mathcal{L}\{te^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^2} \]
\[ \mathcal{L}\{e^{3t}\sin t\}=\frac{1}{(s-3)^2+1} \]
Birinci örnekte \(f(t)=t\) ve \(a=2\)’dir. \(F(s)=\dfrac{1}{s^2}\) olduğundan sonuç \(F(s-2)=\dfrac{1}{(s-2)^2}\) çıkar.
İkinci örnekte \(f(t)=\sin t\) ve \(a=3\)’tür. \(F(s)=\dfrac{1}{s^2+1}\) olduğundan sonuç \(\dfrac{1}{(s-3)^2+1}\)’dir. Paydayı açmak gerekmez; kaydırılmış biçimde bırakmak ters dönüşüm alırken çok daha kullanışlıdır.
Kuralı uygularken \(s\)’nin geçtiği her yeri kaydırmak gerekir. \(\mathcal{L}\{e^{3t}\cos t\}\) için \(\dfrac{s}{s^2+1}\) ifadesinde hem paydaki hem paydadaki \(s\) kayar: \(\dfrac{s-3}{(s-3)^2+1}\). Yalnız paydayı kaydırmak, bu konudaki en yaygın hatadır.
Ters yönde okumak da aynı derecede işe yarar. Paydada tam kare biçimi görüldüğünde — \((s-a)^2+b^2\) gibi — bir öteleme vardır ve özgün fonksiyonda \(e^{at}\) çarpanı bulunur.
Soru: Tam Kareye Tamamlama
\[ F(s)=\frac{s+1}{s^2+4s+13} \]
Payda tablodaki hiçbir biçime uymuyor.
Payda \(s^2+4s+13\) çarpanlarına ayrılmıyor; diskriminant \(16-52=-36\) negatif. Reel kök yok, yani \(\dfrac{1}{s-a}\) biçimine indirgenemez.
Bu, paydanın kompleks köklü olduğu anlamına gelir ve tablodaki karşılığı trigonometrik satırdır. Ama \(s^2+b^2\) biçiminde de değil — ortada bir \(4s\) terimi var.
Ortadaki terimi yok etmenin yolu tam kareye tamamlamaktır. Elde edilen \((s-a)^2+b^2\) biçimi öteleme kuralının hedef biçimidir; \(a\) üstel çarpanı, \(b\) ise salınım frekansını verir.
Çözüm: Kaydırılmış Biçim
\[ s^2+4s+13=(s+2)^2+9 \]
\[ F(s)=\frac{(s+2)-1}{(s+2)^2+9} \]
\[ \boxed{f(t)=e^{-2t}\cos3t-\tfrac13e^{-2t}\sin3t} \]
Paydayı tamamlayalım: \(s^2+4s+13=(s+2)^2+9\). Buradan \(a=-2\) ve \(b=3\) okunur.
Payı da aynı kaydırmaya uydurmak gerekir. \(s+1=(s+2)-1\) yazalım. İfade iki parçaya ayrılır: \(\dfrac{s+2}{(s+2)^2+9}\) ve \(-\dfrac{1}{(s+2)^2+9}\).
Birinci parça kosinüs satırının \(-2\) kadar kaydırılmış hâlidir: karşılığı \(e^{-2t}\cos3t\). İkinci parçada pay \(3\) olmalıydı; \(\dfrac{1}{(s+2)^2+9}=\dfrac13\cdot\dfrac{3}{(s+2)^2+9}\) yazılır ve karşılığı \(\dfrac13e^{-2t}\sin3t\) olur.
Sonuç \(f(t)=e^{-2t}\cos3t-\dfrac13e^{-2t}\sin3t\)’dir. Üstel çarpan sönümü, sinüs–kosinüs çifti salınımı tanımlıyor — sabit katsayılı denklemlerde kompleks köklerin verdiği çözüm biçiminin aynısı.
Payı kaydırmayı unutmak yaygın bir hatadır. Payda \((s+2)\) yazıldığında pay da \(s+2\) cinsinden ifade edilmelidir; aksi hâlde kosinüs ve sinüs katsayıları yanlış çıkar.
\(t\) ile Çarpma
\[ \mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-F'(s) \]
\[ \mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^nF^{(n)}(s) \]
Bir fonksiyon \(t\) ile çarpılırsa dönüşümü türevlenir. Gerekçe integral içinde görülür: \(F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\) ifadesinin \(s\)’ye göre türevi alındığında integrandda \(-te^{-st}f(t)\) oluşur. Yani \(F'(s)=-\mathcal{L}\{tf(t)\}\).
\(n\) kez tekrarlandığında her adımda bir eksi işareti gelir ve \(\mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^nF^{(n)}(s)\) olur.
Kural tutarlılık kontrolü olarak da işe yarar. \(f(t)=1\) alalım: \(F(s)=\dfrac1s\) ve \(-F'(s)=\dfrac{1}{s^2}\) çıkar, bu da \(\mathcal{L}\{t\}\)’nin bilinen değeridir.
Pratikte bu kural, \(t\sin bt\) ya da \(t\cos bt\) gibi çarpımlarda kullanılır. Rezonans durumlarında çözümde tam da bu tip terimler ortaya çıktığı için kural, ters dönüşüm tarafında da karşımıza çıkacak.
Kural Tablosu
| Özgün taraf | Dönüşüm tarafı |
|---|---|
| \(f'(t)\) | \(sF(s)-f(0)\) |
| \(f''(t)\) | \(s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) |
| \(e^{at}f(t)\) | \(F(s-a)\) |
| \(t^nf(t)\) | \((-1)^nF^{(n)}(s)\) |
Dört kural, dönüşüm hesabının çekirdeğidir. İlk ikisi diferansiyel denklemi cebirsel denkleme çevirir; son ikisi tablonun kapsamını genişletir.
Kuralları okumanın kısa yolu, her işlemin karşılığını hatırlamaktır: türev alma \(s\) ile çarpma, üstelle çarpma \(s\) ekseninde kaydırma, \(t\) ile çarpma \(s\)’ye göre türev alma. Özgün taraftaki analiz işlemleri, dönüşüm tarafında cebir işlemlerine gidiyor.
Tabloda henüz bulunmayan iki satır var: parçalı girdileri taşıyan öteleme kuralı ve iki dönüşümün çarpımına karşılık gelen işlem. İkisi de ilerideki konularda eklenecek.
Sık Yapılan Hatalar
- \(\mathcal{L}\{f'\}\) formülünde \(f(0)\) terimini unutmak
- \(\mathcal{L}\{f''\}\) içinde \(sf(0)\) yerine \(f(0)\) yazmak
- Ötelemede yalnız paydayı kaydırmak
- Tam kareye tamamlarken payı düzeltmemek
- Sinüs satırında pay çarpanını atlamak
Birinci hata denklemi homojen başlangıç koşullarıyla çözmeye denk gelir; sonuç genel çözümün yalnız bir parçasını verir ve verilen koşullar sağlanmaz.
İkinci hata mertebe ile \(s\) kuvvetini eşleştirmemekten doğar. İkinci türevde \(y(0)\) terimi \(s\) ile çarpılıdır: \(s^2Y-sy(0)-y'(0)\). Sıralamayı hatırlamanın yolu, \(s\) kuvvetlerinin \(s^{n-1}\)’den başlayıp birer birer azaldığını görmektir.
Üçüncü ve dördüncü hatalar aynı kökten gelir: öteleme \(s\)’nin geçtiği her yeri etkiler. \(\dfrac{s}{(s-3)^2+1}\) ifadesi \(e^{3t}\cos t\)’nin dönüşümü değildir; doğrusu \(\dfrac{s-3}{(s-3)^2+1}\)’dir.
Beşinci hata ters dönüşümde çıkar. \(\dfrac{1}{s^2+9}\) ifadesinin karşılığı \(\sin3t\) değil, \(\dfrac13\sin3t\)’dir; sinüs satırında payda \(b\) bulunması gerekir ve eksik çarpan elle tamamlanır.
Karar Soruları
Hangi kural, hangi sırayla?
- \(\mathcal{L}\{t^2e^{-t}\}\)
- \(\mathcal{L}\{e^{2t}\cos4t\}\)
- \(\mathcal{L}\{y''\}\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=5\)
Birincisinde öteleme kuralı yeterlidir. \(f(t)=t^2\) için \(F(s)=\dfrac{2}{s^3}\) ve \(a=-1\) olduğundan sonuç \(\dfrac{2}{(s+1)^3}\)’tür. Aynı sonuca \(t\) ile çarpma kuralını iki kez uygulayarak da varılır, ama öteleme çok daha kısadır. Kural seçiminde ölçüt hesap uzunluğudur.
İkincisinde \(F(s)=\dfrac{s}{s^2+16}\) ve \(a=2\)’dir. Her iki \(s\) kaydırılır: \(\dfrac{s-2}{(s-2)^2+16}\).
Üçüncüsünde formül doğrudan uygulanır: \(s^2Y-s\cdot0-5=s^2Y-5\). Başlangıç koşullarından biri sıfır olduğunda ilgili terim düşer; bu, hesabı kısaltır ama formülü değiştirmez.
Üç soruda da yapılan iş aynı: ifadeye bakıp hangi kuralın devreye gireceğine karar vermek. Hesap kararın ardından geliyor.
Sonraki Adım: Geri Dönüş
\[ Y(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=? \]
Cebirsel çözüm elde; özgün fonksiyona nasıl dönülür?
Türev kuralı sayesinde diferansiyel denklem cebirsel denkleme dönüştü ve \(Y(s)\) bulundu. Ama aranan \(y(t)\); dönüşüm tarafında kalmak bir işe yaramaz.
Geri dönüş işlemine ters Laplace dönüşümü denir. Tanımı bir integral formülüyle verilebilir, ama o formül kompleks düzlemde integral gerektirir ve bu dersin kapsamı dışındadır.
Pratikte kullanılan yol tablodur: \(Y(s)\) ifadesi, tablodaki satırların tanınabileceği parçalara ayrılır ve her parçanın karşılığı yazılır. Ayırma işlemi kısmi kesirlerle yapılır.
Bu geri dönüş, Laplace yöntemini uçtan uca bir başlangıç değer problemi üzerinde çalıştırmayı sağlar.
Kaynak Notu
Ana kaynak: Nagle, Saff ve Snider.
Kaynak: Nagle, Saff ve Snider, Fundamentals of Differential Equations. Kısmi integrasyonla türev kuralı, tümevarımla yüksek mertebeye genişletme ve birinci öteleme teoremi bu kaynaktaki klasik yaklaşımla uyumludur.